Question

已知函數f（x）=sin

x

2

，x∈R，將函數y=f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），得到函數g（x）的圖象，則關于f（x）•g（x）有下列命題：
①函數y=f（x）•g（x）是奇函數；
②函數y=f（x）•g（x）不是周期函數；
③函數y=f（x）•g（x）的圖象關于點（π，0）中心對稱；
④函數y=f（x）•g（x）的最大值為

3

3

．
其中真命題為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：本題可先根據圖象平移的規律求出g（x）的解析式，再研究函數f（x）•g（x）的奇偶性、周期性、對稱性和最值，從而選出正確選項．

解答： 解：∵函數f（x）=sin

x

2

，x∈R，
∴將函數y=f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），函數g（x）=sinx．
∴f（x）•g（x）=sinx•sin

x

2

．
記h（x）=sinx•sin

x

2

．
（1）h（-x）=sin（-x）•sin（-

x

2

）=（-sinx）•（-sin

x

2

）=sinx•sin

x

2

．
∴h（-x）=h（x）．
∴h（x）是偶函數．
假設h（x）是奇函數，則h（x）=0恒成立，與h（x）=sinx•sin

x

2

矛盾．
故假設不成立．
∴h（x）不是奇函數．即①不成立．
（2）∵h(x+4π)=sin(x+4π)•sin

x+4π

2

=sinx•sin(

x

2

+2π)=sinx•sin

x

2

=h（x），
∴h（x）是周期函數．故②不成立．
（3）設P（x，y）是函數y=h（x）圖象上任意一點，
則 y=sinx•sin

x

2

．
點P（x，y）關于點（π，0）的對稱點是P′（2π-x，-y），
∵sin(2π-x)•sin

2π-x

2

=sinx•sin(π-

x

2

)=-sinx•sin

x

2

=-y
∴點是P′（2π-x，-y）也在函數 y=sinx•sin

x

2

的圖象上．
∴函數y=f（x）•g（x）的圖象關于點（π，0）中心對稱．
∴③成立．
（4）h（x）=sinx•sin

x

2

=2sin2

x

2

•cos

x

2

．
令cos

x

2

=t，則sin2

x

2

=1-t2．
H（x）=2（1-t²）t=-2t³+2t，（-1≤t≤1）
H′(t)=-6t2+2=-6(t-

3

3

)(t+

3

3

)．
當-1＜x＜-

3

3

時，H′（x）＜0，H（x）單調遞減；
當-

3

3

＜x＜

3

3

時，H′（x）＞0，H（x）單調遞增；
當

3

3

＜x＜1時，H′（x）＜0，H（x）單調遞減．
∵H（-1）=2-2=0，H(

3

3

)=

4

9

3

，
∴H（x）的最大值為

4

9

3

．
∴④不成立．
故答案為③．

點評：本題考查了函數的圖象平移、函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值，用到了換元法化簡，導數法求最值．本題雖然是填空題，但計算量較大，思維要求高，屬于中檔題．