Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，AA₁=AB₁，E為BB₁延長線上的一點，D₁E⊥面D₁AC．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D₁的大小；
（Ⅱ）在D₁E上是否存在一點P，使A₁P∥面EAC？若存在，求D₁P：PE的值，不存在，說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E-AC-D₁的大小；
（Ⅱ）根據線面平行的判定定理即可判斷A₁P∥面EAC．

解答： 解：（Ⅰ）設AC與BD交于O，如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz，
設AB=2，則A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），D₁（0，-1，2），
設E（0，1，2+h）
則

D1E

=(0，2，h)，

CA

=(2

3

，0，0)，

D1A

=(

3

，1，-2)
∵D₁E⊥平面D₁AC，
∴D₁E⊥AC，D₁E⊥D₁A，
∴2-2h=0，∴h=1，即E（0，1，3）（3分）
∴

D1E

=(0，2，1)，

AE

=(-

3

，1，3)
設平面EAC的法向量為

m

=(x，y，z)
則由

m ⊥ CA m ⊥ AE

得

x=0 - 3 x+y+3z=0

，
令z=-1
∴平面EAC的一個法向量為

m

=(0，3，-1)
又平面D₁AC的法向量為

D1E

=(0，2，1)，
∴cos＜

m

，

D1E

＞

m • D1E

| m |•| D1E |

=

2

2

∴二面角E-AC-D₁大小為45°．
（Ⅱ）設

D1P

=λ

PE

=λ(

D1E

-

D1P

)，
得

D1P

=

λ

1+λ

D1E

=（0，

2λ

1+λ

，

λ

1+λ

），
∴

A1P

=

A1D1

+

D1P

=(-

3

，-1，0)+(0，

2λ

1+λ

，

λ

1+λ

)=(-

3

，

λ-1

1+λ

，

λ

1+λ

)，
∵A₁P∥面EAC，
∴

A1P

⊥

m

，
∴-

3

×0+3×

λ-1

1+λ

+(-1)×

λ

1+λ

=0，
∴λ=

3

2

∴存在點P使A₁P∥面EAC，
此時D₁P：PE=3：2

點評：本題主要考查線面平行的判定，以及二面角的求法，建立坐標系利用向量法是解決本題的關鍵．要求熟練掌握向量法．