Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一點．
（Ⅰ）若AD=3OD，求證：CD∥平面PBO；
（Ⅱ）若PD=AB=BC=1，求二面角C-PD-A的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出四邊形BCDO為平行四邊形，由此能證明CD∥平面PBO．
（Ⅱ）以A為原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，過點A垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-PD-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵AD=3BC，BC∥AD，
∴OD

∥

.

BC，∴四邊形BCDO為平行四邊形，
∴CD∥BO，又BO?平面PBO，CD不包含于平面PBO，
∴CD∥平面PBO．
（Ⅱ）解：如圖，以A為原點，以AB所在直線為x軸，
AD所在直線為y軸，過點A垂直于平面ABCD的直線為z軸，
建立空間直角坐標系，
由題意得：A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），
在Rt△PAD中，斜邊AD=3BC=3，又直角邊PD=1，
由勾股定理得AP=2

2

，由直角三角形面積相等，
得點P的豎坐標zP=

AP•PD

AD

=

2 2

3

，yP =

8

3

，
∴P（0，

8

3

，

2 2

3

），
平面PAD的一個法向量

n

=(x，y，z)，

CP

=(-1，

5

3

，

2 2

3

)，

CD

=(-1，2，0)，
設平面CPD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • CP =-x+ 5 3 y+ 2 2 3 z=0 n • CD =-x+2y=0

，取y=1，得

n

=(2，1，

2

4

)，
設二面角C-PD-A的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

2

1× 82 16

|=

4 82

41

．
∴二面角C-PD-A的余弦值為

4 82

41

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．