Question

以一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有

 

個．（請用數字作答）

Answer 1

考點：排列、組合的實際應用

專題：計算題,排列組合

分析：根據題意，結合四點共面的情況分3種情況討論：①、上底面中取3個點，下底面取1個點，②、上底面中取1個點，下底面取3個點，③、上底面中取2個點，下底面取2個點，分別求出每種情況下四面體的個數，由加法原理計算可得答案．

解答： 解：根據題意，如圖分3種情況討論：
①、上底面中取3個點，下底面取1個點，
共有C₅³×C₅¹=50個四面體，
②、上底面中取1個點，下底面取3個點，
共有C₅¹×C₅³=50個四面體，
③、上底面中取2個點，下底面取2個點，
共有C₅²×C₅²=100種情況，
其中共面的有3種情況：a、5個側面，b、5個對角面，c、10個底面五邊形對角線與相對底面與之平行的邊確定的平面，如平面ACD′B′，
此時可以組成四面體100-5-5-10=80個；
綜合可得：一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有50+50+80=180個：
故答案為180．

點評：本題考查排列、組合的應用，注意4點共面包括“10個底面五邊形對角線與相對底面與之平行的邊確定的平面”