Question

在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知

cosA-2cosC

cosB

=

2c-a

b

．
（1）求

sinC

sinA

的值；
（2）若cosB=

1

4

，△ABC的周長為10，求b的長．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：三角函數的求值,解三角形

分析：（1）已知等式右邊利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，得到sinC=2sinA，即可求出所求式子的值；
（2）利用余弦定理列出關系式，將cosB與c=2a的值代入得到b=2a，根據三角形周長為10求出a的值，即可確定出b的值．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡得：

cosA-2cosC

cosB

=

2c-a

b

=

2sinC-sinA

sinB

，
整理得：sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=2（sinBcosC+cosBsinC），
整理得：sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
則

sinC

sinA

=2；
（2）將sinC=2sinA，利用正弦定理化簡得：c=2a，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

4

，
將c=2a代入得：

a2+4a2-b2

4a2

=

1

4

，整理得：b=2a，
∵a+b+c=10，
∴a+2a+2a=10，即a=2，
則b=4．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．