Question

某選修課的考試按A級、B級依次進行，只有當A級成績合格時，才可繼續參加B級的考試．已知每級考試允許有一次補考機會，兩個級別的成績均合格方可獲得該選修課的合格證書．現某人參加這個選修課的考試，他A級考試成績合格的概率為，B級考試合格的概率為．假設各級考試成績合格與否均互不影響．
(1)求他不需要補考就可獲得該選修課的合格證書的概率；
(2)在這個考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數為，求的數學期望E．

Answer 1

（1），（2）.

試題分析：（1）解概率問題，關鍵明確事件所包含的意義. 不需要補考就獲得合格證書的事件為A級第一次考試合格且B級第一次考試合格，因為事件相互獨立，所以由概率乘法得（2）參加考試的次數至少2次，至多4次，因此＝2，3，4，因為不放棄所有的考試機會，所以＝2包含①A級第一次考試合格且B級第一次考試合格，②A級第一次考試不合格且A級補考不合格。＝4包含A級第一次考試不合格且A級補考合格， B級第一次考試不合格，B級補考合格或不合格. ＝3包含事件較多，可利用求解，最后再利用數學期望公式求E.
試題解析：設“A級第一次考試合格”為事件，“A級補考合格”為事件A2； “B級第一次考試合格”為事件，“B級補考合格”為事件．
（1）不需要補考就獲得合格證書的事件為A1·B1，注意到A1與B1相互獨立，
則
答：該考生不需要補考就獲得合格證書的概率為         4
（2）由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得
 .6

    .8

       .10
故
答：該考生參加考試次數的期望為 .13