Question

某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，…，24這24個整數中等可能隨機產生．

(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率P_i(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行n次后，統計記錄了輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻數．以下是甲、乙所作頻數統計表的部分數據．
甲的頻數統計表(部分)

運行次數n	輸出y的值 為1的頻數	輸出y的值 為2的頻數	輸出y的值 為3的頻數
30	14	6	10
…	…	…	…
2 100	1 027	376	697

 
乙的頻數統計表(部分)

運行次數n	輸出y的值 為1的頻數	輸出y的值 為2的頻數	輸出y的值 為3的頻數
30	12	11	7
…	…	…	…
2 100	1 051	696	353

 
當n＝2 100時，根據表中的數據，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率(用分數表示)，并判斷兩位同學中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；
(3)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

（1）     
（2）乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大
（3）ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

 
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1

解：(1)變量x是在1,2,3，…，24這24個整數中隨機產生的一個數，共有24種可能．
當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數中產生時，輸出y的值為1，故P₁＝；
當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數中產生時，輸出y的值為2，故P₂＝；
當x從6,12,18,24這4個數中產生時，輸出y的值為3，故P₃＝．
所以輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為．
(2)當n＝2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率如下：

	輸出y的值 為1的頻率	輸出y的值 為2的頻率	輸出y的值 為3的頻率
甲
乙

 
比較頻率趨勢與概率，可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大．
(3)隨機變量ξ可能的取值為0,1,2,3．
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝×＝．
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

 
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．
即ξ的數學期望為1．