Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）對(duì)h（x）求導(dǎo)，得，對(duì)，分別討論，得單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)f（x）在點(diǎn)（x1，f（x1））與g（x）在點(diǎn)（x2，f（x2））處切線相同，則，分別求得導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，構(gòu)造新函數(shù) ，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，運(yùn)用單調(diào)性計(jì)算可得a的范圍．

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,，

所以

所以當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)即時(shí)，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令得

	+	-	+
	增	減	增

綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)與函數(shù)在點(diǎn)處切線相同，

，則，

由，得，再由

得，把代入上式得

設(shè)（∵x2＞0，∴x∈（0，+∞））,

則 不妨設(shè).

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

把代入可得：

設(shè)，則對(duì)恒成立，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又

所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí),

又當(dāng)時(shí)，

因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)必有零點(diǎn)；即當(dāng)時(shí)，必存在使得成立；

即存在使得函數(shù)在點(diǎn)與函數(shù)在點(diǎn)處切線相同．

又由單調(diào)遞增得，因此

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．