Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，平面，AB 1，AP AD 2.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若點M，N分別在AB，PC上，且平面，試確定點M，N的位置．

Answer 1

【答案】（1）；（2）M為AB的中點，N為PC的中點

【解析】

（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立空間直角坐標系，求平面PCD的一個法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設 ，利用平面PCD，所以∥，得到的方程，求解即可確定M,N的位置

（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．

以為正交基底，建立如圖所示的空間

直角坐標系，則

從而

設平面PCD的法向量

則即

不妨取則．

所以平面PCD的一個法向量為．

設直線PB與平面PCD所成角為所以

即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為．

（2）設則

設則而

所以．由（1）知，平面PCD的一個法向量為，因為平面PCD，所以∥．

所以解得，．

所以M為AB的中點，N為PC的中點．