Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，短軸長為2．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）設P為橢圓上頂點，點A是橢圓C上異于頂點的任意一點，直線交x軸于點M，點B與點A關于x軸對稱，直線交x軸于點N．問：在y軸的正半軸上是否存在點Q，使得？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點滿足題意．

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的幾何性質建立方程組求解基本量得橢圓的標準方程；（Ⅱ）設出點B的坐標，寫出直線的方程，求出N點坐標，同理求出M點坐標，利用直角三角形中正切函數的定義建立方程，結合橢圓方程即可求解．

解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為，

由題可知解得．

所以橢圓C的標準方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

設，

則直線的方程為．

令，得，即．

因為點B與點A關于x軸對稱，所以．

則直線的方程為．

令，得，即．

假設存在點，

使得．

由，

得，即．

因為，

所以．

又，所以．

經驗證，當時，．

所以在y軸的正半軸上存在點，

使得．