【題目】設
、
、
為集合
的任意三個
元子集，且
，
.問：是否存在
，
，
，使得其中某兩個數的和等于第三個數？
【答案】見解析
【解析】
用反證法證明：存在
，
，
，使其中某兩個數的和等于第三個數.
假設存在某種分拆，
，
，
使得
、
、
三個
元集中不存在這樣的三個元素.
記
，
，
，
其中，
，
，
.
設
，則
，
，而
.
考慮集合，記
.
則
為正整數.
（1）若
，則
，矛盾.
（2）若
，考慮個數
.
對每個
，顯然
.
又若存在某個
，則
與
，
，，矛盾.
于是，所有的
，而
，
此時，集合中至少有
個元素
，也得矛盾.
（3）若
，在數列
中，自左至右設最先取到
的項為
.
考慮數
與
，其顯然均在 集合
中.
由于
，而
、
分 別為集合、的元素，故由假設知
.
又據
，知，而
，由假設知
.
因此，只有
.
再由
，得
；由
，得
.
因此，只有
.
由于集合中的兩個元素與的差為，
故它們為集合中相鄰的兩個元素，并且它們分別小于及
.
因此，在集合中應當排在先前的一對 元素、之前，
這與、為集合中 最先使得其差為的項的假設矛盾.
于是，結論得證.
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【題目】在平面直角坐標系
中，已知橢圓
的離心率為
，短軸長為2．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設P為橢圓上頂點，點A是橢圓C上異于頂點的任意一點，直線
交x軸于點M，點B與點A關于x軸對稱，直線
交x軸于點N．問：在y軸的正半軸上是否存在點Q，使得
？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中點．
（1）求證：AE⊥B1C；
（2）求異面直線AE與A1C所成的角的大小；
（3）若G為C1C中點，求二面角C-AG-E的正切值．
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【題目】若四面體
的三組對棱分別相等，即
，
，
，給出下列結論：
①四面體每組對棱相互垂直；
②四面體每個面的面積相等；
③從四面體每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和大于
而小于
；
④連接四面體每組對棱中點的線段相互垂直平分；
⑤從四面體每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長.
其中正確結論的個數是（ ）
A.2個B.3個C.4個D.5個
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【題目】寫出下面平面幾何中的常見結論在立體幾何中也成立的所有序號______.
①四邊形內角和為
；
②垂直的兩條直線必相交；
③垂直同一條直線的兩條直線平行；
④平行同一條直線的兩條直線平行；
⑤四邊相等的四邊形，其對角線垂直；
⑥到三角形三邊距離相等的點是這個三角形的內心；
⑦到一個角的兩邊距離相等的點必在這個角的角平分線上；
⑧在平面幾何中有“一組平行線（至少3條）被兩條直線所截得的對應線段成比例”的結論，則這一結論可推廣到立體幾何中“一組平行平面（至少3個）被兩條直線所截得的對應線段也成比例.”
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【題目】如圖所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.
(1)求證：AE⊥平面BCE；
(2)求證：AE∥平面BFD；
(3)求三棱錐C－BGF的體積．
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【題目】下表提供了某廠經過節能降耗技術改進后生產甲產品x噸與相應的生產耗能y噸間的幾組數據
（1）試畫出此表中數據對應的散點圖 ；
（2）若變量y與x線性相關 ，試求出線性回歸方程y = b x + a ；
（3）已知該廠技改前100噸甲產品的生產耗能為90噸標準煤 ，試根據（2）求出的線性回歸方程 ，預測生產100噸甲產品的生產耗能比技改前降低多少噸標準煤？
(參考公式
，)
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【題目】五一放假期間高速公路免費是讓實惠給老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某時間段內車流量
(單位:千輛/小時)與汽車的平均速度
(單位:千米/小時)之間滿足的函數關系
（
為常數），當汽車的平均速度為
千米/小時時，車流量為
千輛/小時.
（1）在該時間段內，當汽車的平均速度為多少時車流量達到最大值？
（2）為保證在該時間段內車流量至少為千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？
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【題目】某大型超市在2018年元旦舉辦了一次抽獎活動，抽獎箱里放有2個紅球，1個黃球和1個藍球（這些小球除顏色外大小形狀完全相同），從中隨機一次性取2個小球，每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱.活動另附說明如下：
①凡購物滿100（含100）元者，憑購物打印憑條可獲得一次抽獎機會；
②凡購物滿188（含188）元者，憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎機會；
③若取得的2個小球都是紅球，則該顧客中得一等獎，獎金是一個10元的紅包；
④若取得的2個小球都不是紅球，則該顧客中得二等獎，獎金是一個5元的紅包；
⑤若取得的2個小球只有1個紅球，則該顧客中得三等獎，獎金是一個2元的紅包.
抽獎活動的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費數據（單位：元），繪制得到如圖所示的莖葉圖.
（1）求這20位顧客中獲得抽獎機會的人數與抽獎總次數（假定每位獲得抽獎機會的顧客都會去抽獎）；
（2）求這20位顧客中獎得抽獎機會的顧客的購物消費數據的中位數與平均數（結果精確到整數部分）；
（3）分別求在一次抽獎中獲得紅包獎金10元，5元，2元的概率.
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