Question

【題目】 已知函數（a為常數）.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，單調減區間為和．（2）

【解析】試題分析：（1）先確定函數定義域，再求導函數，進而求定義區間上導函數的零點，最后列表分析導函數符號并確定單調區間：增區間為，，減區間為和．（2）不等式恒成立問題，一般轉化為對應函數最值問題： ，再利用導數研究函數單調性，確定當時有最大值為，即得實數的取值范圍.

試題解析：解：（Ⅰ）函數的定義域為，

當時， ，

，

由得， ，

由得， 或，

∴函數的單調增區間為，

單調減區間為和．

（Ⅱ）當時， 恒成立，

令，

問題轉換為時， ．

，

①當時， ，

在上單調遞增，

此時無最大值，故不合題意．

②當時，令解得， ，

此時在上單調遞增，

此時無最大值，故不合題意．

③當時，令解得， ，

當時， ，

而在上單調遞增，在上單調遞減，

，

令， ，

則，

在上單調遞增，

又，

當時， ，

在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，

故不合題意．

當時， ，

而此時在上單調遞減，

，符合題意．

綜上可知，實數的取值范圍是．

（也可用洛必達法則）