Question

【題目】在圓上有21個(gè)點(diǎn).證明：以這些點(diǎn)為端點(diǎn)組成的所有弧中，不超過(guò)120°的弧不少于100條.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

圓上任三點(diǎn)分圓所成的三段弧中，至少有一段弧超過(guò)120°.將這不超過(guò)120°弧的兩個(gè)端點(diǎn)連上弦，這樣，圓上任意三個(gè)點(diǎn)中至少有兩點(diǎn)有弦（稱為“邊”)相連.由于這樣的“邊”與不超過(guò)120°的弧建立一一對(duì)應(yīng).所以只需證明，圓上21個(gè)點(diǎn)連結(jié)的“邊”不少于100即可.

設(shè)是連結(jié)“邊”數(shù)最少的那個(gè)頂點(diǎn)，，

是從引出的共有條“邊”.

由于每個(gè)點(diǎn)引出不少于條“邊”，所以，所有這些“邊“不少于條.其余個(gè)點(diǎn)中的任意點(diǎn)，它們不應(yīng)與有“邊”連結(jié).但任三點(diǎn)中都至少有兩個(gè)點(diǎn)有“邊”連結(jié)，所以它們每?jī)蓚�(gè)點(diǎn)間都有“邊”連結(jié).這樣，又得到不少于條“邊，以表記這21個(gè)點(diǎn)間連有“邊”的總數(shù)，則.

由，的極小值點(diǎn)鄰近的整數(shù)為及.

在中，，

.

上述最小值是可以達(dá)到的.作圓的一條直徑.在點(diǎn)近旁的圓弧上取10個(gè)點(diǎn)，在點(diǎn)的近旁的圓弧上取11個(gè)點(diǎn).即可合于要求.這21個(gè)點(diǎn)間連結(jié)有條“邊”