Question

【題目】已知，直線經過定點，直線經過定點，且與相交于點，這兩條直線與兩坐標軸圍成的四邊形面積為.

（1）證明：，并求定點、的坐標；

（2）求三角形面積最大值，以及時的.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，，；（2）三角形面積最大值為，.

【解析】

（1）先由得到，即可求出；再由得到，即可求出；根據兩直線的斜率之積，即可判斷直線垂直；

（2）先分別記點到直線的距離為、點到直線的距離為，由點到直線距離公式求出，，表示出，根據基本不等式求出最值，再由，結合極限的運算，即可得出結果.

（1）因為可化為，因此易知過點，即；

由可得：，因此直線過點；

又，直線的斜率為；直線的斜率為；所以，因此；

（2）分別記點到直線的距離為、點到直線的距離為，

則，，

由（1）可得：，

所以，

令，，，所以，；

當時，；當時，；

當時，則，

當且僅當，即，即時，等號成立，

又，，當時，；當時，；

綜上三角形面積最大值為；

又兩條直線與兩坐標軸圍成的四邊形面積為

；

所以.