Question

【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別是，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且滿足.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè).若，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由題意可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，然后求出，根據(jù)橢圓的定義可得，進(jìn)而得到，于是可得橢圓的方程．（2）由題意直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，代入橢圓方程后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后通過換元法求出的范圍即可．

（1）由題意得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．

∵，

∴點(diǎn)P到直線的距離為，從而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，

又點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

∴，

∴，

∴．

∴，

∴橢圓的方程為．

（2）根據(jù)題意得直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，

由 消去整理得，

顯然．

設(shè)，則 ①

∵，即，

∴，

代入①消去得．

∵，

∴，

∴，解得．

由題意得．

令，則，

∴，

設(shè)，則在上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴．

即面積的取值范圍為．