Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，且平面平面.

（1）證明：

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）中點為，連接和，證明平面，即可證明；

（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.

（1）設中點為，連接和，如圖所示，

在中，，為中點，所以，

又四邊形為菱形，，所以是等邊三角形，

為中點，所以，

又，所以平面，

又因為平面，所以.

（2）由（1）知，、、兩兩垂直，

以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，

所以，，，

設平面的法向量，

則，令，則，，

所以；

設平面的法向量，

則，令，則，，

所以；

因為二面角是銳角，

所以，

即二面角的余弦值為.