Question

【題目】在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側面是菱形且與底面垂直，，點是中點，點是上靠近點的三等分點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交交于，連接，通過證明//，即可得證線面平行；

（2）以中點，建立空間直角坐標系，求得兩個平面的法向量，通過向量法即可求得二面角的余弦值.

（1）連接，交于點，連接.

因為，所以,

又因為，所以，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）過作于，

因為，所以是線段的中點.

因為平面平面，平面平面，

所以平面，連接，

因為是等邊三角形，是線段的中點，所以.

所以 平面 .

如圖，以為原點，，，所在直線

分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標，

不妨設，則，，，，，

由，得，

則的中點，

從而，.

設平面的法向量為，

則，即，

不妨取，得，即.

易知平面的一個法向量為，

則，

所以二面角的余弦值為.