Question

【題目】已知函數在與時都取得極值．

（1）求的值與函數的單調區間；

（2）若對,不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）……………………2分

由，

……………………3分

得……………………5分

（2），

當時，為極大值，……………………6分

而，則為最大值，……………………8分

要使

恒成立，則只需要，……………………10分

得……………………12分

【解析】

（1）求出f（x），由題意得f（）＝0且f（1）＝0聯立解得與b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），討論導函數的正負得到函數的增減區間；

（2）根據（1）函數的單調性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函數的最大值為f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范圍即可．

（1），f（x）＝3x2+2ax+b

由解得，

f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函數f（x）的單調區間如下表：

x	（﹣∞,）		（，1）	1	（1，+∞）
f（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）		極大值		極小值

所以函數f（x）的遞增區間是（﹣∞，）和（1，+∞），遞減區間是（，1）．

（2）因為，根據（1）函數f（x）的單調性，

得f（x）在（﹣1，）上遞增，在（，1）上遞減，在（1，2）上遞增，

所以當x時，f（x）為極大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c為最大值．

要使f（x）＜對x∈[﹣1，2]恒成立，須且只需＞f（2）＝2+c．

解得c＜﹣1或c＞2．