Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點E，F在BC邊上（不與B，C重合），∠EAF=45°，問以BE、EF、FC三條線段為邊，是否總能構成直角三角形？請說明結論及理由．

Answer 1

考點：三角形中的幾何計算

專題：綜合題,立體幾何

分析：將△AEB逆時針轉動直至AB與AC重合，即形成的新△AE'C≌△AEB，AE'=AE，CE'=BE，連接E'F，證明△CE'F為RT△，E'F²=CE'²+FC²，即可得出結論．

解答： 解：將△AEB逆時針轉動直至AB與AC重合，即形成的新△AE'C≌△AEB，AE'=AE，CE'=BE．
∠E'AC=∠EAB，∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°．
連接E'F．則∠E'AF=∠E'AC+∠FAC=∠EAB+∠FAC=90°-45°=45°
又∠EAF=45°，所以∠EAF=∠E'AF，
又AE'=AE，AF為公用邊，
所以△E'AF≌△EAF，E'F=EF，
又∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°，∠ACE'+∠ACB=45°+45°=90°，
所以△CE'F為RT△，E'F²=CE'²+FC²，
又CE'=BE，E'F=EF，EF²=BE²+FC²
所以以BE，EF，FC為邊的三角形是直角三角形．

點評：本題考查三角形中的幾何計算，考查三角形全等的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．