Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*．設b_n=log₂

Sn

n

，t_n=

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

b2n-1

，是否存在最大的正整數k，使得對于任意的正整數N，有t_n＞

k

12

恒成立？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：將n換成n+1，兩式相減，運用n=1時，a₁=S₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，即可得到數列{

an

2n

}為首項為2，公差為1的等差數列，求出b_n，t_n，t_n+1，作差，判斷{t_n}的單調性，求出t_n的最小值，令

k

12

小于最小值，即可求出正整數k的最大值．

解答： 解：當n=1時，S₁=2a₁-4，解得a₁=4．
由題意得S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，S_n+1=2a_n+1-2ⁿ⁺²，
兩式相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n-2ⁿ⁺¹，
于是a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1
∴數列{

an

2n

}為首項為2，公差為1的等差數列，
∴

an

2n

=n+1，即a_n=2ⁿ（n+1）
代入S_n=n•2ⁿ⁺¹，
∴bn=lo

g

Sn n 2

=n+1，
∴t_n=

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

b2n-1

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∴t_n+1-t_n=

1

2(2n+1)(n+1)

．
∵n是正整數，∴t_n+1-t_n＞0，即t_n+1＞t_n．
∴數列{t_n}是一個單調遞增數列，
又t₁=b₂=

1

2

，∴t_n≥t₁=

1

2

，
要使t_n＞

k

12

恒成立，則有

1

2

＞

k

12

，即k＜6，
又k是正整數，故存在最大正整數k=5使t_n＞

k

12

恒成立．

點評：本題主要考查數列的通項和求和，考查等比數列的通項，以及不等式的恒成立問題，判斷數列的單調性，注意考慮相鄰兩項的大小，屬于難題．