Question

對于曲線C：

x2

4-k

+

y2

k-1

=1給出下面四個命題：
①曲線C不可能表示橢圓
②當1＜k＜4時，曲線C表示橢圓
③若曲線C表示雙曲線，則k＜1或k＞4
④若曲線C表示焦點在x 軸上的橢圓，則1＜k＜

5

2

下列選項正確的是（　　）

• A、①③
• B、③④
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考點：圓錐曲線的共同特征

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據曲線方程的特點，結合橢圓雙曲線的標準方程分別判斷即可．

解答： 解：①當1＜k＜4且k≠

5

2

時，曲線表示橢圓，所以①錯誤；
②當k=

5

2

時，4-k=k-1，此時曲線表示圓，所以②錯誤．
③若曲線C表示雙曲線，則（4-k）（k-1）＜0，解得k＞4或k＜1，所以③正確．
④若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則

k-1＞0 4-k＞0 4-k＞k-1

，解得1＜k＜

5

2

，所以④正確．
故選B．

點評：本題主要考查圓錐曲線的方程，根據橢圓和雙曲線的標準方程和定義是解決本題的關鍵．