Question

【題目】已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集為A．
（1）求A；
（2）若a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x +m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當x＜﹣2時，﹣x﹣2﹣x+2＜18，解得﹣9＜x＜﹣2；

②當﹣2≤x≤2時，x+2﹣x+2＜18，恒成立；

③當x＞2時，x+2+x﹣2＜18，解得2＜x＜9．

綜上，不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集為（﹣9，﹣2）∪[﹣2，2]∪（2，9）=（﹣9，9）．

∴A=（﹣9，9）

（2）解：∵a，b∈（﹣9，9），∴a+b∈（﹣18，18）．∵a+b＜x +m恒成立，

∴18≤x +m恒成立，∵x∈（0，+∞），∴x+ +m≥2 +m=4+m．

∴18≤4+m，解得m≥14．

∴m的取值范圍是[14，+∞）

【解析】（1）分x＜﹣2，﹣2≤x≤2，x＞2三種情況去絕對值符號將不等式轉化為一元一次不等式求解；（2）分別求出a+b和x +m的范圍，令a+b的最大值小于x +m的最小值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．