Question

【題目】已知函數 （a≠0）．
（1）已知函數f（x）在點（0，1）處的斜率為1，求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若a＞0，g（x）=x2emx ， 且對任意的x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，故f′（0）= =1，解得：a=1
（2）解：由題意可知，函數f（x）的定義域為R，

f′（x）= ，

當a＞0時，x∈（﹣1，1），f′（x）＞0，f（x）為增函數，

x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）為減函數；

當a＜0時，x∈（﹣1，1），f′（x）＜0，f（x）為減函數，

x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數

（3）解：“對任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”

等價于“當a＞0時，對任意的x1，x2∈[0，2]，fmin（x）≥gmax（x）成立”，

當a＞0時，由（2）可知，函數f（x）在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，

而f（0）=1，f（2）= +1＞1，所以f（x）的最小值為f（0）=1，

g（x）的導數g′（x）=2xemx+x2emxm=（mx2+2x）emx，

當m=0時，g（x）=x2，x∈[0，2]時，gmax（x）=g（2）=4，顯然不滿足gmax（x）≤1，

當m≠0時，令g′（x）=0得，x1=0，x2=﹣ ，

①當﹣ ≥2，即﹣1≤m≤0時，在[0，2]上g′（x）≥0，所以g（x）在[0，2]單調遞增，

所以gmax（x）=g（2）=4e2m，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，所以﹣1≤m≤﹣ln2；

②當0＜﹣ ＜2，即m＜﹣1時，在[0，﹣ ]，g′（x）≥0，g（x）單調遞增，

在[﹣ ，2]，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，所以gmax（x）=g（﹣ ）= ，

只需 ≤1，得m≤﹣ ，所以m＜﹣1；

③當﹣ ＜0，即m＞0時，顯然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）單調遞增，

gmax（x）=g（2）=4e2m，4e2m≤1不成立．

綜上所述，m的取值范圍是（﹣∞，﹣ln2]

【解析】（1）求出函數的導數，計算f′（0）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的導數，并分解因式，討論a＞0，a＜0，由導數大于0可得增區間，由導數小于0，得減區間；（3）“對任意的x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等價于“當a＞0時，對任意的x1 ， x2∈[0，2]，fmin（x）≥gmax（x）成立”，求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的導數，對m討論，結合單調性，求得最大值，解不等式即可得到．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．