Question

【題目】已知平面上一動點A的坐標為.

（1）求點A的軌跡E的方程；

（2）點B在軌跡E上，且縱坐標為.

（i）證明直線AB過定點，并求出定點坐標；

（ii）分別以A，B為圓心作與直線相切的圓，兩圓公共弦的中點為H，在平面內是否存在定點P，使得為定值？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）證明見解析；定點（ii）存在；點

【解析】

（1）設動點A的坐標為，根據A的坐標為，坐標對應相等，消去參數t即可.

（2）（i）根據點B在軌跡E上，且縱坐標為，得到點B的坐標為，再分和兩種情況與點A用點斜式方程求解.（ii）根據圓A，B與直線相切，分別表示圓A，圓B的方程，然后兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程，將，坐標代入并整理，根據H是該直線與（i）中直線AB的交點，兩個方程相乘即可.

（1）設動點A的坐標為，

因為A的坐標為，

所以，

消去參數t得：；

（2）（i）因為點B在軌跡E上，且縱坐標為，

所以點B的坐標為，

當時，直線AB的方程為；

當時，直線AB的斜率為，

所以直線AB的方程為，

整理得，所以直線AB過定點；

（ii）因為A的坐標為，且圓A與直線相切，

所以圓A的方程為，

同理圓B的方程為，

兩圓方程相減得，

將，帶入并整理得①，

由（i）可知直線AB的方程為②，

因為H是兩條直線的交點，

所以兩個方程相乘得，

整理得，即點H的軌跡是以為圓心，

為半徑的圓，所以存在點，滿足.