Question

【題目】已知函數

（I）若，求函數的極值和單調區間；

（II）若在區間上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）時，的極小值為1；單調遞增區間為，單調遞減區間為；（II）．

【解析】

試題（I）首先求出導函數，然后令導數等于零，解方程，從而根據定義域列表討論，求得函數的單調區間和極值；（II）首先根據題意將問題轉化為在區間上的最小值小于0即可，從而首先求出導函數，然后分、研究函數在上的單調性，將的各極值與其端點的函數值比較，其中最小的一個就是最小值，進而求得的取值范圍．

試題解析：（I）因為，

當，．

令，得．

又的定義域為，隨的變化情況如下表：

所以時，的極小值為1．

的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（II）因為，且，

令，得到．

若在區間上存在一點，使得成立，

其充要條件是在區間上的最小值小于0即可．

（1）當時，對成立，

所以，在區間上單調遞減，

故在區間上的最小值為，

由，得，即

（2）當時，

①若，則對成立，

所以在區間上單調遞減，

所以，在區間上的最小值為，

顯然，在區間上的最小值小于0不成立

②若，即時，則有

所以在區間上的最小值為，

由，

得，解得，即舍去；

當，即，即有在遞增，

可得取得最小值，且為1，，不成立．

綜上，由（1）（2）可知符合題意．