Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）若在上是增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）討論函數的極值，并說明理由；

（Ⅲ）若有兩個極值點，，求證：函數有三個零點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，無極值；當時，存在一個極大值和一個極小值；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）利用得；利用導數求得的最小值，則；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數單調遞增，無極值；當，可證得有兩根，即有兩根，從而可得函數的單調性，進而確定有一個極大值和一個極小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知且；利用和表示，代入函數中，可表示出和；根據和設，通過導數可驗證出單調遞減，進而求得，，結合圖象可證得結論.

（Ⅰ）由得：

在上是增函數 在上恒成立

即：在上恒成立

設，則

當時，；當時，

即在上單調遞減；在上單調遞增

即的取值范圍為：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當時，在上是增函數，此時無極值；

當時，令，即

時，；；時，

有兩個根，設兩根為，且

可知：和時，；時，

即在，上單調遞增；在上單調遞減

在處取得極大值；在處取得極小值

綜上所述：當時，無極值；當時，存在一個極大值和一個極小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，有兩個極值點，，則，且

；

又

令，則

則在上恒成立，即在上單調遞減

又 時，；時，

，

當時，；當時，

可得大致圖象如下：

有三個零點