Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線（為參數），將曲線上所有點橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到曲線，過點且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點．

（1）求曲線的參數方程和的取值范圍；

（2）求中點的軌跡的參數方程．

Answer 1

【答案】（1）參數方程為（為參數），的取值范圍是；

（2）（為參數，）．

【解析】

（1）根據伸縮變換可得出曲線的參數方程，然后分與兩種情況討論，結合直線與曲線相交得出的取值范圍；

（2）寫出直線的參數方程為（為參數，），并設、、對應的參數分別為、、，可得出，將直線的參數方程與曲線的普通方程聯立，得出關于的二次方程，由韋達定理可得出關于的表達式，代入直線的參數方程可得出點的軌跡的參數方程.

（1）曲線的參數方程為（為參數）

當時，與交于兩點；

當時，記，則的方程為，與交于兩點當且僅當，解得或，即或．

綜上，的取值范圍是；

（2）的參數方程為（為參數，）．

設、、對應的參數分別為、、，曲線的普通方程為，

將直線的參數方程與曲線的普通方程聯立得，

則，且、滿足．

于是，，

又點的坐標滿足，

所以點的軌跡的參數方程是（為參數，）．