Question

【題目】已知直線x＝﹣2上有一動點Q，過點Q作直線l，垂直于y軸，動點P在l1上，且滿足(O為坐標原點)，記點P的軌跡為C．

（1）求曲線C的方程；

（2）已知定點M(，0)，N(，0)，點A為曲線C上一點，直線AM交曲線C于另一點B，且點A在線段MB上，直線AN交曲線C于另一點D，求△MBD的內切圓半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設點P的坐標為（x，y），結合題意得出點Q的坐標，再利用向量數量積的運算可得出點P的軌跡方程；

（2）設A（x1，y1）、B（x2，y2）、D（x3，y3），設直線AM的方程為，將該直線方程與曲線C的方程聯立，結合韋達定理進行計算得出點B和點D的橫坐標相等，于是得出BD⊥x軸，根據幾何性質得出△MBD的內切圓圓心H在x軸上，且該點與切點的連線與AB垂直．

方法一是計算出△MBD的面積和周長，利用等面積法可得出其內切圓的半徑的表達式；

方法二是設H（x2﹣r，0），直線BD的方程為x＝x2，寫出直線AM的方程，利用點H到直線AB和AM的距離相等得出r的表達式；

方法三是利用△MTH∽△MEB，得出，然后通過計算得出△MBD內切圓半徑r的表達式．

通過化簡得到r關于x2的函數表達式，并換元，將函數關系式轉化為r關于t的函數關系式，然后利用單調性可求出r的取值范圍．

（1）設點，則 ∴，

∵ ∴，即

（2）設，，，直線與軸交點為，內切圓與的切點為．

設直線的方程為：，則聯立方程，得：

∴且 ∴ ∴直線的方程為：，

與方程聯立得：，化簡得：

解得：或 ∵ ∴軸

設的內切圓圓心為，則在軸上且

方法（一）∴，且的周長為：

∴

∴ .

方法（二）設，直線的方程為：，其中

直線的方程為：，即，且點與點在直線的同側，

∴，解得：

方法（三）∵ ∴，即，解得：

令，則

∴在上單調增，則，即的取值范圍為．