Question

【題目】已知數列的前項積為，滿足. 數列的首項為，且滿足.

（1）求數列，的通項公式;

（2）記集合，若集合的元素個數為，求實數的取值范圍;

（3）是否存在正整數使得成立?如果存在，請寫出滿足的條件，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），bn=2n；（2）；（3）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）當時，；當時，，即可的的通項公式，由可得，即數列是常數數列，即可求出的通項公式；

（2）參變分離，構造函數列，判斷其增減性，即可求出的取值范圍；

（3）假設存在，根據數列為等比數列，利用公式求出其前項和，對分類討論．

（1）因為，所以當時，

而當時，適合上式，所以，因為，即

所以數列是常數數列，所以，所以.

（2）由(1)知，不等式即為

設

因為

而

要使只有2解，則有

（3）假設存在正整數，因為

所以有若，則不成立，

所以，，若為奇數，當時，，不成立，.

當時，設，， 則 .

若q為偶數，設，，則，因為，所以.

綜上所述，當為大于1的奇數時，，；

當q為偶數時，不存在.