Question

【題目】橢圓的離心率是，過點做斜率為的直線，橢圓與直線交于兩點，當直線垂直于軸時．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當變化時，在軸上是否存在點，使得是以為底的等腰三角形，若存在求出的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)見解析。

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率為得到，于是橢圓方程為．有根據題意得到橢圓過點，將坐標代入方程后求得，進而可得橢圓的方程．（Ⅱ）假設存在點，使得是以為底的等腰三角形，則點為線段AB的垂直平分線與x軸的交點．由題意得設出直線的方程，借助二次方程的知識求得線段的中點的坐標，進而得到線段的垂直平分線的方程，在求出點的坐標后根據基本不等式可求出的取值范圍．

（Ⅰ）因為橢圓的離心率為，

所以，整理得．

故橢圓的方程為．

由已知得橢圓過點，

所以，解得，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意得直線的方程為．

由消去整理得，

其中．

設，的中點

則，

所以

∴，

∴點C的坐標為．

假設在軸存在點，使得是以為底的等腰三角形，

則點為線段的垂直平分線與x軸的交點．

①當時，則過點且與垂直的直線方程，

令，則得．

若，則，

∴．

若，則，

∴．

②當時，則有．

綜上可得．

所以存在點滿足條件,且m的取值范圍是.