【題目】已知有窮數列
，
，
，
，
．若數列
中各項都是集合
的元素，則稱該數列為
數列．對于數列，定義如下操作過程
：從中任取兩項
，
，將
的值添在的最后，然后刪除，，這樣得到一個
項的新數列
（約定：一個數也視作數列）．若還是數列，可繼續實施操作過程，得到的新數列記作
，，如此經過
次操作后得到的新數列記作
．
（1）設
，
，
請寫出的所有可能的結果；
（2）求證：對于一個
項的數列操作總可以進行次；
（3）設
，
，
，
，
，，
，
，
，
求
的可能結果，并說明理由．
【答案】（1）
，
；
，
；
，
．；（2）證明見解析；（3）
【解析】
（1）直接按定義來操作，每次取兩個數代入計算即可求出
的所有可能的結果；
（2）先通過作差得到每次操作后新數列仍是
數列；再根據每次操作中都是增加一項，刪除兩項即可得到結論；
（3）先定義運算：
，并證明這種運算滿足交換律和結合律；再結合（2）可知
中僅有一項，再按定義先求出
，綜合即可得到的可能結果．
（1）直接按定義來操作，當取0，時代入計算可得：
，；
當取0，時可得，；
當取，時，可得，．
故有如下的三種可能結果：，；，；，．
（2）因為對
，
，有
且
所以
，即每次操作后新數列仍是數列．
又由于每次操作中都是增加一項，刪除兩項，
所以對數列
每操作一次，項數就減少一項，
所以對
項的數列可進行
次操作（最后只剩下一項）.
（3）由（2）可知中僅有一項．
對于滿足
，的實數，
定義運算：，
下面證明這種運算滿足交換律和結合律．
因為，且
，所以
，即該運算滿足交換律；
因為
且
所以
，即該運算滿足結合律．
所以中的項與實施的具體操作過程無關，
選擇如下操作過程求
由（1）可知
；
易知
，
，
，
；
所以
，0，0，0，0；
易知經過4次操作后剩下一項為
．
綜上可知：．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項積為
，滿足
. 數列
的首項為
，且滿足
.
（1）求數列，的通項公式;
（2）記集合
，若集合
的元素個數為，求實數
的取值范圍;
（3）是否存在正整數
使得
成立?如果存在，請寫出滿足的條件，如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設F1、F2分別為橢圓C：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦點，點A為橢圓C的左頂點，點B為橢圓C的上頂點，且|AB|＝
，△BF1F2為直角三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線y＝kx+2與橢圓交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求實數k的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將向量
=(
， 
)， 
=(
， 
)，…
=(
,
)組成的系列稱為向量列{
}，并定義向量列{
}的前
項和
．如果一個向量列從第二項起,每一項與前一項的差都等于同一個向量，那么稱這樣的向量列為等差向量列。若向量列{
}是等差向量列，那么下述四個向量中，與
一定平行的向量是 ( )
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
，當
時，滿足
.
（1）求證：
；
（2）求證：數列為等差數列；
（3）若
，公差
，問是否存在，
，使得
？如果存在，求出所有滿足條件的，，如果不在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E為PB的中點.
(1)求證：AE//平面PDC；
(2)若BC＝CD＝PD，求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.
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