Question

【題目】已知橢圓和拋物線，在上各取兩個點，這四個點的坐標為．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）設是在第一象限上的點，在點處的切線與交于兩點，線段的中點為，過原點的直線與過點且垂直于軸的直線交于點，證明：點在定直線上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）根據橢圓及拋物線的性質可得點，在橢圓上，點， 在拋物線上，分別代入求值，即可求得的方程；（Ⅱ）設（），根據導數的幾何意義可求出切線的方程，再設，，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理及線段的中點為，可得點坐標，即可表示出直線的方程，從而可得點在定直線上

詳解：（Ⅰ）由已知， 點，在橢圓上，所以 ，，

解得：，，所以：；

點， 在拋物線上，所以，所以：．

（Ⅱ）設（），由得，所以切線的方程為：.

設，，由得：，

由，得，代入得.

∴

∴：

由得，所以點在定直線上．