Question

【題目】設數列的前n項和為，對任意的正整數n，都有成立，記（），

（１）求數列的通項公式；

（2）記（），設數列的前n和為，求證：對任意正整數n，都有．

Answer 1

【答案】（1）（）

（２）對任意正整數n，都有，證明略

【解析】

試題（1）已知與的關系式，如本題，都是再寫一次（可用代），，兩式相減后得數列的遞推式，從而可得，數列是等比數列，因此通項公式可得；（2）由（1）求得，從要證明的不等式看，要求能計算出其和，但從通項的形式知其和求不出來，但是從問題看，想象能否采用放縮法，即把放大一點，以便可求和，，此時要注意，不能用這種放縮法，可直接計算得，當時，用此放縮法得，求和后可證得不等式成立．

試題解析：（1）當時，，∴，

又∵，，∴，即，

∴數列是首項為，公比為的等比數列，

∴．

（2）由得

又，當時，，

當時，

∴對任意正整數都有．