Question

【題目】已知函數．

(1)若，求函數的極值，并指出是極大值還是極小值；

(2)若，求證：在區間上，函數的圖像在函數的圖像的下方．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）定義域為(0，＋∞)，f′(x) ，可求得單調區間有望極小值。（2）函數的圖像在函數的圖像的下方，即f(x)<g(x),變形F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3<0,由導數求。

試題解析：(1)解由于函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，

當a＝－1時，f′(x)＝x－

令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，

當x∈(0,1)時，f′(x)<0，因此函數f(x)在(0,1)上是單調遞減的，

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，因此函數f(x)在(1，＋∞)上是單調遞增的，

則x＝1是f(x)極小值點，

所以f(x)在x＝1處取得極小值為f(1)=

(2)證明：設F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，

則F′(x)＝x＋－2x2＝，

當x>1時，F′(x)<0，

故f(x)在區間[1，＋∞)上是單調遞減的，

又F(1)＝－<0，

∴在區間[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立

即f(x)<g(x)恒成立.

因此，當a＝1時，在區間[1，＋∞)上，函數f(x)的圖像在函數g(x)圖像的下方．