Question

求過點（1，2）與函數f（x）=x³+x的圖象相切的切線方程．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：設出切點坐標，利用導數的幾何意義求出切線方程，利用過點（1，2），求出切點坐標即可得到結論．

解答： 解：設切點A（x₀，y₀），
∵y′=3x²+1，
∴切線斜率為k=3x₀²+1，y₀=x₀³+x₀，
∴對應的切線方程為y-（x₀³+x₀）=（3x₀²+1）（x-x₀），
即y=（x₀³+x₀）+（3x₀²+1）x-x₀（3x₀²+1）=（3x₀²+1）x-2x₀³，
又切線過（1，2），
∴2=3x₀²+1-2x₀³，
即2x₀³-3x₀²+1=0，
2x₀²（x₀-1）-（x₀-1）（x₀+1）=（x₀-1）（2x₀²-x₀-1）=0，
即（x₀-1）²（2x₀+1）=0，
解得x₀=1或x₀=-

1

2

，
∴切線方程為：y=4x-2或y=

7

4

x+

1

4

．

點評：考查學生會利用導數求切線上過某點切線方程的斜率，會根據斜率和一點坐標寫出直線的方程，是一道綜合題．