Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：（）的離心率為，過右焦點且斜率為1的直線交橢圓于兩點，為弦的中點。
（1）求直線（為坐標原點）的斜率；
（2）設橢圓上任意一點，且，求的最大值和最小值.

Answer 1

(1）， (2） 

試題分析：(1）設橢圓的焦距為2c,因為，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：     ①   …………2分
易知右焦點F的坐標為（），
據題意有AB所在的直線方程為：  ②      …………4分
由①，②有：        ③
設，弦AB的中點，由③及韋達定理有：
 
所以，即為所求。     …………6分
(2）設，由1）中各點的坐標有：
，所以。
又點在橢圓C上，所以有整理為。  ④………8分
由③有：。
  ⑤
又A﹑B在橢圓上，故有     ⑥
將⑤，⑥代入④可得：。      …………10分
，故有
所以，     …………12分
點評：圓錐曲線的問題一般來說計算量大，對運算能力要求很高，尋求簡潔、合理的運算途徑很重要，在解答時注意以下的轉化：⑴若直線與圓錐曲線有兩個交點，對待交點坐標是“設而不求”的原則，要注意應用韋達定理處理這類問題 ； ⑵與弦的重點有關問題求解常用方法一韋達定理法 二 點差法；⑶平面向量與解析幾何綜合題，遵循的是平面向量坐標化，應用的是平面向量坐標運算法則還有兩向量平行、垂直來解決問題，這就要求同學們在基本概念、基本方法、基本能力上下功夫．