Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長軸長為2，離心率e＝，過右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：解：(1)由已知，橢圓方程可設(shè)為．
∵長軸長為,離心率， 即.
∴．所求橢圓方程為．       4分
(2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的方程為，此時(shí)小于，為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形．        5分
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為．
由   可得．
∴由求根公式可得：.
．   7分
，.
.
因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004748606486.png" style="vertical-align:middle;" />為鄰邊的平行四邊形是矩形，所以，
所以..
由,
得，.      10分
所求直線的方程為．    1 2分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是利用橢圓的性質(zhì)得到a,b，c的關(guān)系式，同時(shí)聯(lián)立方程組來得到韋達(dá)定理，集合向量的數(shù)量積公式求解運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。