Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M(2,1)，平行于OM的直線在軸上的截距為，交橢圓于A、B兩個不同點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形.

Answer 1

（1）（2）（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，證明k₁＋k₂=0即可.

試題分析：（1）設橢圓方程為，
,則，∴橢圓方程.
（2）∵直線l平行于OM，且在軸上的截距為m,又 ,
∴l的方程為：,
由,
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，
     
∴m的取值范圍是
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁＋k₂=0即可
設
 可得
而

,
∴k₁＋k₂=0,故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系的綜合問題．考查了學生轉化和化歸思想的運用，統籌運算的能力．