Question

已知函數f（x）=log₃

x+1

ax-1

（a∈R）為奇函數．
（1）求a的值；
（2）設函數g（x）=f^-1（x）+log 

1

3

t存在零點，求實數t的取值范圍；
（3）若不等式f（x）-m≥3^x在x∈[2，3]上恒成立，求實數m最大值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,奇偶性與單調性的綜合,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義建立方程，即可求a的值；
（2）求出函數g（x）=f^-1（x）+log 

1

3

t的表達式，根據函數零點存在的判斷條件，求實數t的取值范圍；
（3）將不等式f（x）-m≥3^x在x∈[2，3]上恒成立，進行轉化，利用參數分離法，求函數的最值即可求實數m最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₃

x+1

ax-1

（a∈R）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，
即log₃

x+1

ax-1

+log₃

-x+1

-ax-1

=log₃

x2-1

a2x2-1

=0，
即

x2-1

a2x2-1

=1，即a²=1，a=±1；
當a=1時，log₃

x+1

x-1

的奇函數，滿足條件．
當a=-1時，log₃

x+1

-x-1

=log₃（-1）不成立，
故a=1．
（2）∵log₃

x+1

x-1

，∴函數的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
解得f^-1（x）=

3x+1

3x-1

，（x≠0），
∵函數g（x）=f^-1（x）+log 

1

3

t存在零點，
即f^-1（x）+log 

1

3

t=0有解，
即f^-1（x）=log₃t=

3x+1

3x-1

有解，
∵

3x+1

3x-1

=1+

2

3x-1

∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，
∴log₃t＜-1或log₃t＞1，
即0＜t＜

1

3

或t＞1，
即實數t的取值范圍是0＜t＜

1

3

或t＞1；
（3）若不等式f（x）-m≥3^x在x∈[2，3]上恒成立，
即m≤f（x）-3^x在x∈[2，3]上恒成立，
∵f（x）-3^x=log₃

x+1

x-1

-3^x=log₃（1+

2

x-1

）-3^x，在x∈[2，3]上單調遞減
∴[f（x）-3^x]_min=f（3）-3³=log₃2-27，
∴m≤=log₃2-27，
即實數m最大值是=log₃2-27．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及不等式恒成立問題，根據對數函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．