Question

已知橢圓C₁，拋物線C₂的焦點均在y軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	0	-1	2	4
y	-2 2	1 16	-2	1

（1）求C₁，C₂的標準方程；
（2）設斜率不為0的動直線l與C₁有且只有一個公共點P，且與C₂的準線相交于點Q，試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設C₁，C₂的標準方程分別為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），x²=my，將（4，1）和（-1，

1

16

）代入拋物線方程得到的解相同，可得拋物線方程，從而可知另外兩點在橢圓C₁上，代入坐標，即可求出C₁，C₂的標準方程；
（2）設直線l的方程為x=my+n將其代入

y2

8

+

x2

4

=1，消去x并化簡整理，利用動直線l與C₁有且只有一個公共點P，可得n²=4（1+2m²），直線l與C₂的準線相交于點Q（n-4m，-4），可得以PQ為直徑的圓的方程為（x-

4

n

）（x-n+4m）+（y+

8m

n

）（y+4）=0，化簡并整理，令x=0，即可得出結論．

解答： 解：（1）設C₁，C₂的標準方程分別為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），x²=my，
將（4，1）和（-1，

1

16

）代入拋物線方程得到的解相同，且m=16；
（0，-2

2

）和（

2

，-2）在橢圓上，代入橢圓方程得a=2

2

，b=2，
故C₁，C₂的標準方程分別為

y2

8

+

x2

4

=1，x²=16y（6分）
（2）設直線l的方程為x=my+n將其代入

y2

8

+

x2

4

=1，消去x并化簡整理得
（1+2m²）y²+4mny+2n²-8=0．
∵動直線l與C₁有且只有一個公共點P，
∴△=0，可得n²=4（1+2m²）（8分），
設切點P（x₀，y₀），則y₀=-

8m

n

，x₀=

4

n

．
又直線l與C₂的準線相交于點Q（n-4m，-4），
∴以PQ為直徑的圓的方程為（x-

4

n

）（x-n+4m）+（y+

8m

n

）（y+4）=0（10分），
化簡并整理得x²-

4

n

x+（4m-n）x+

8m

n

（y+2）+（y+2）²=0恒成立，
故x=0，y=-2，即存在定點M（0，-2）合題意．（13分）

點評：本題主要考查拋物線的定義與性質、圓的性質、直線與圓錐曲線的位置關系，考查運算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．