Question

已知數列{a_n}，a₁=1，a_n=n（a_n-1-a_n），遞減等比數列{b_n}滿足：b₂=

1

4

，其前三項和S₂=

7

8

．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{a_n•b_n}的前n項和為T_n，求T_n+a_n•b_n+4b_n²的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

an+1

n+1

=

an

n

，由此能求出a_n=n．由已知條件推導出

b1q= 1 4 b1+b1q+b1q2= 7 8

，由此能求出bn=(

1

2

)n．
（Ⅱ）由a_n•b_n=n•(

1

2

)n，利用錯位相減法求出T_n=2-（n+2）•

1

2n

．從而得到T_n+a_n•b_n+4b_n²=4（

1

2n

-

1

4

）²+

7

4

≥

7

4

．由此能求出T_n+a_n•b_n+4b_n²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}，a₁=1，a_n=n（a_n-1-a_n），
∴（n+1）a_n=na_n+1，∴

an+1

n+1

=

an

n

，
∴{

an

n

}是常數列，且

an

n

=

a1

1

=1，
∴a_n=n．
∵遞減等比數列{b_n}滿足：b₂=

1

4

，其前三項和S₂=

7

8

，
∴

b1q= 1 4 b1+b1q+b1q2= 7 8

，解得

b1= 1 2 q= 1 2

，或

b1= 1 8 q=2

（舍）
∴bn=(

1

2

)n．
（Ⅱ）∵a_n•b_n=n•(

1

2

)n，
∴Tn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+n•(

1

2

)n，①

1

2

Tn=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+3•(

1

2

)4+…+n•(

1

2

)n⁺¹，②
①-②，得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
∴T_n=2-（n+2）•

1

2n

．
∴T_n+a_n•b_n+4b_n²=2-（n+2）•

1

2n

+n•

1

2n

+4•

1

22n

=2-

2

2n

+

4

22n

=4（

1

2n

-

1

4

）²+

7

4

≥

7

4

．
∴當且僅當(

1

2

)n=

1

4

，即n=2時取等號．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項的最小值的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．