Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直線y=kx+1與函數(shù)y=lnx的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值．
（Ⅱ）設(shè)x＞0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx²（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)出切點(diǎn)，求出lnx的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，列出方程組，求出x₀，k；
（Ⅱ）由條件轉(zhuǎn)化為方程f（x）=mx²的根的個(gè)數(shù)，分離出參數(shù)m=

ex

x2

，令h（x）=

ex

x2

，求出h′（x），求出單調(diào)區(qū)間，求出極值，即為最值，根據(jù)圖象討論m的取值即可得到公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線y=kx+1與函數(shù)y=g（x）=lnx的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
則kx₀+1=lnx₀．且k=g′（x₀）=

1

x0

，
即有l(wèi)nx₀=2，x₀=e²，k=e-2；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0，m＞0時(shí)，曲線f（x）=e^x與曲線y=mx²（m＞0）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
即方程f（x）=mx²的根的個(gè)數(shù)．
由f（x）=mx²即m=

ex

x2

，h′（x）=

ex(x-2)

x3

，
則h（x）在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，
∴h（2）是h（x）的極小值即為最小值，且為

e2

4

．
∴對(duì)曲線y=f（x）與曲線y=mx²（m＞0）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
討論如下：
當(dāng)m∈（0，

e2

4

），有0個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)m=

e2

4

時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)m∈（

e2

4

，+∞），有2個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．