Question

（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，。

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設線段的中點為，在直線上是否存在一點，使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ）為線段AE的中點，證明見解析。
（Ⅲ）arctan

本小題主要考查平面與平面垂直、直線與平面垂直、直線與平面平行、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、邏輯推理能力和數學探究意識，考查應用向量知識解決數學問題的能力。
解法一：

（Ⅰ）因為平面⊥平面,平面，
平面平面，
所以⊥平面
所以⊥。
因為為等腰直角三角形，，
所以
又因為，
所以，
即⊥，
所以⊥平面。………………………………4分
（Ⅱ）存在點,當為線段AE的中點時，PM∥平面
取BE的中點N，連接AN，MN，則MN∥＝∥＝PC
所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN
因為CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內，
所以PM∥平面BCE………………………………8分
（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延長線于G，則FG∥EA。從而，FG⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G，連結FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH
因此，∠AEF為二面角F-BD-A的平面角
因為FA="FE," ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.
設AB=1,則AE=1,AF=。
FG=AF·sinFAG=
在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
GH=BG·sinGBH=·=
在Rt△FGH中，tanFHG= =
故二面角F-BD-A的大小為arctan……………………………12分
解法二:

（Ⅰ）因為△ABE為等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因為平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系A-xyz.
設AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因為FA="FE," ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
從而，.
所以,,.
,.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因為BE平面BCE,BC∩BE="B" ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.
從而=（，）.
于是
所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內，
故PM∥平面BCE………………………………8分
(Ⅲ) 設平面BDF的一個法向量為，并設=（x，y，z）
=(1，1，0)，
    即
去y=1，則x=1，z=3，從=（0，0，3）
取平面ABD的一個法向量為=（0，0，1）

故二面角F-BD-A的大小為……………………………………12分