Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，平面．，，是上的點．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析   （Ⅱ）

（Ⅰ）證明：連結．


因為底面是正方形，
所以．
因為平面，平面，
所以．……………………………………………………………………3分
又因為，
所以平面．……………………5分
因為平面，
所以．…………………………7分
（Ⅱ）因為平面，
所以．
因為底面是正方形，
所以．
又因為，
所以平面，所以．…………………………………………10分
過點在平面內作于，連結．
由于，
所以平面．
所以．
故是二面角的平面角．………………………………………12分
在中，，，可求得．
在中，，，可求得．
所以．
即二面角的余弦值為．…………………………………………14分
解法（二）（Ⅰ）如圖以為原點建立空間直角坐標系．
則，，，，，，
，
．…………………3分
．
所以．即．…………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
設平面的法向量為，則由
，，得
 即
取，得．……………………………………………………………11分
易知平面的一個法向量為．
設二面角的平面角為．
則．
即二面角的余弦值為．