Question

在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1，
⑴求證：平面BEF⊥平面DEF；
⑵求二面角A－BF－E的大小。

Answer 1

（1）見解析
（2）二面角的大小為

①證明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，
∴EC⊥平面ABCD；連接BD交AC于點O，連接FO，
∵正方形ABCD的邊長為，∴AC＝BD＝2；
在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O為AC中點，
∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，
DE＝BE＝，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，
∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，
由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，
∴平面BEF⊥平面DEF ………………（6分）
⑵取BF中點M，BE中點N，連接AM、MN、AN，
∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，
又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，
∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。
易求得，；
在Rt△中，可求得，
∴在△中，由余弦定理求得，
∴ ……………………………（12分）
解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，則
,,,,
∴，，…(2分)
設平面BEF、平面DEF的法向量分別為
，則
 ①
 ②， ③, ④.
由①③③④解得,∴,…（4分）
∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF…………（6分）
⑵設平面ABF的法向量為，∵，
∴，，解得
∴，………（8分）∴……（10分）
由圖知，二面角A－BF－E的平面角是鈍角，故所求二面角的大小為