Question

【題目】法國數學家龐加是個喜歡吃面包的人，他每天都會購買一個面包，面包師聲稱自己出售的每個面包的平均質量是1000，上下浮動不超過50.這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為1000，標準差為50的正態分布.

（1）假設面包師的說法是真實的，從面包師出售的面包中任取兩個，記取出的兩個面包中質量大于1000的個數為，求的分布列和數學期望；

（2）作為一個善于思考的數學家，龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到數據如下表，經計算25個面包總質量為24468.龐加萊購買的25個面包質量的統計數據（單位：）

981	972	966	992	1010	1008	954	952	969	978
989	1001	1006	957	952	969	981	984	952	959
987	1006	1000	977	966

盡管上述數據都落在上，但龐加菜還是認為面包師撒謊，根據所附信息，從概率角度說明理由

附：

①若，從X的取值中隨機抽取25個數據，記這25個數據的平均值為Y，則由統計學知識可知：隨機變量

②若，則，，；

③通常把發生概率在0.05以下的事件稱為小概率事件.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；期望為1（個）（2）詳見解析

【解析】

（1）由題意知，的所有可能取值為0，1，2.可求得；；.從而可求得的分布列和其數學期望.

（2）記面包師制作的每個面包的質量為隨機變量X.假設面包師沒有撒謊，則.由附①，從X的取值中隨機抽取25個數據，記這25個數據的平均值為Y，則.可求得這25個數據的平均值為，而由由附②數據知，，由附③知，事件“”為小概率事件，可得結論.

（1）由題意知，的所有可能取值為0，1，2.

；；

.所以的分布列為：

	0	1	2
P

所以（個）.

（2）記面包師制作的每個面包的質量為隨機變量X.

假設面包師沒有撒謊，則.

根據附①，從X的取值中隨機抽取25個數據，記這25個數據的平均值為Y，

則.

龐加萊記錄的25個面包質量，相當于從X的取值中隨機抽取了25個數據，

這25個數據的平均值為，

由附②數據知，，

由附③知，事件“”為小概率事件，

所以“假設面包師沒有撒謊”有誤，

所以龐加萊認為面包師撒謊.