Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，≌，，是線段的中點．

（1）求證：∥平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：建立空間直角坐標系，給出相應點坐標，得平面PAB的法向量為，由，即可得∥平面

求出平面的一個法向量，平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出二面角的余弦值；

解析：（1）證明：以B為坐標原點，BA所在的直線為x軸，BC所在的直線為y軸，過點B且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示．

則B(0,0,0)，C(0，，0)，P(1,0,2)，D，A(1,0,0)，E，∴，，．

顯然平面PAB的法向量為，由，平面，∴∥平面.

（2）由（1）知，，，設平面的法向量為，則，取，則,∴為平面的一個法向量．同理：平面的法向量為

∴，故二面角的余弦值為.