Question

【題目】設a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用區間表示）；
（2）求函數f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D內的極值點．

Answer 1

【答案】
（1）解：記h（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a（a＜1）

△=9（1+a）2﹣48a=（3a﹣1）（3a﹣9），

當△＜0，即 ，D=（0，+∞），

當 ，

當a≤0，

（2）解：由f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a，

①當 ，f（x）在D內有一個極大值點a，有一個極小值點；

②當 ，∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0，

h（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=3a﹣a2＞0，

∴1D，a∈D，

∴f（x）在D內有一個極大值點a．

③當a≤0，則aD，

又∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1＜0．

∴f（x）在D內有無極值點

【解析】（1）根據方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0的判別式討論a的范圍，求出相應D即可；（2）由f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根據（1）中討論的a的取值范圍分別求出函數極值即可．
【考點精析】掌握集合的交集運算和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道交集的性質：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．