Question

【題目】某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數．
1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°
5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：選擇（2），計算如下：
sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ，故 這個常數為 ．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ．
證明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+ ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin2α+ cos2α+ sin2α+ sinαcosα﹣ sinαcosα﹣ sin2α= sin2α+ cos2α= ．
（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= + ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=1﹣ + （cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣ sin2α﹣ sin2α
=1﹣ + cos2α+ sin2α﹣ sin2α﹣ =1﹣ ﹣ + = ．
【解析】（Ⅰ）選擇（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ，可得這個常數的值．
（Ⅱ）推廣，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ．證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結果．
證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為 + ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1﹣ + cos2α+ sin2α
﹣ sin2α﹣ ，化簡可得結果