Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正數，滿足a1=1，ak+1﹣ak=ai ． （i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）
（1）求證： ；
（2）若{an}是等比數列，求數列{an}的通項公式；
（3）設數列{an}的前n項和為Sn ， 求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ak+1﹣ak=ai＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴數列{an}是遞增數列，即1＜a2＜a3＜…＜an．

又∵ak+1﹣ak=ai≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴ak+1﹣ak≥1（k=1，2，3，…，n﹣1）．

（2）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；

∵{an}是等比數列，∴數列{an}的公比為2．

∵ak+1﹣ak=ai（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴當i=k時有ak+1=2ak．

這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數列．

∴ ．

（3）證明：∵1=a1=1，2=a2=2， ， ，…， ，

由上面n個式子相加，得到： ，

化簡得 ，

∴ ．

【解析】（1）利用數列的單調性即可證明；（2）利用遞推關系、等比數列的通項公式即可得出；（3）利用“累加求和”與不等式的性質即可得出．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．